Выбираешь понравившийся по тарифам банк. Хотя, ставка на аренду отличается незначительно. Идешь, заключаешь договор. Соответственно при заключении пишешь кто имеет право доступа к ячейке. Получаешь номер ячейки и ключ.
Открывается она обычно двумя ключами. Один твой, - другой у сотрудника банка. Внутри самой ячейки обычно контейнер, доступ к которому имеешь только ты. Всё.
Может ли кто-то другой с ключом (как это бывает в кино) придти вместо тебя? Сомневаюсь. Так как вписывают паспортные данные, которые обычно сверяются. Плюс в некоторых банках ксерят сам паспорт. Он конечно лежит папке с договором, но посмотреть всегда могут.
Могут ли сами работки стырить нажитые непосильным трудом ценности?

Чего только в жизни иногда не происходит...
Это в общих чертах. Нюансы уже обговаривая при заключении договора. К тому же менеджер тебе всё разложит ещё детальнее.